Forma piatta, sferica o iperbolica del nostro Universo?

2024 Autore: Seth Attwood | [email protected]. Ultima modifica: 2023-12-16 16:08

A nostro avviso, l'universo è infinito. Oggi sappiamo che la Terra ha la forma di una sfera, ma raramente pensiamo alla forma dell'Universo. In geometria, ci sono molte forme tridimensionali in alternativa allo spazio infinito "familiare". Gli autori spiegano la differenza nella forma più accessibile.

Guardando il cielo notturno, sembra che lo spazio vada avanti all'infinito in tutte le direzioni. Questo è il modo in cui immaginiamo l'Universo, ma non il fatto che sia vero. Dopotutto, c'è stato un tempo in cui tutti pensavano che la Terra fosse piatta: la curvatura della superficie terrestre è impercettibile e l'idea che la Terra sia rotonda sembrava incomprensibile.

Oggi sappiamo che la Terra ha la forma di una sfera. Ma raramente pensiamo alla forma dell'universo. Come la sfera ha sostituito la terra piatta, altre forme tridimensionali offrono alternative allo spazio infinito "familiare".

Si possono porre due domande sulla forma dell'universo, separate ma interconnesse. Uno riguarda la geometria: calcoli meticolosi di angoli e aree. Un altro riguarda la topologia: come le parti separate si fondono in un'unica forma.

I dati cosmologici suggeriscono che la parte visibile dell'Universo è liscia e omogenea. La struttura locale dello spazio sembra quasi la stessa in ogni punto e in ogni direzione. Solo tre forme geometriche corrispondono a queste caratteristiche: piatta, sferica e iperbolica. Diamo uno sguardo a queste forme a turno, alcune considerazioni topologiche e conclusioni basate su dati cosmologici.

Universo piatto

In realtà, questa è geometria scolastica. Gli angoli di un triangolo si sommano fino a 180 gradi e l'area di un cerchio è πr2. L'esempio più semplice di una forma tridimensionale piatta è uno spazio infinito ordinario, i matematici lo chiamano euclideo, ma ci sono altre opzioni piatte.

Non è facile immaginare queste forme, ma possiamo collegare la nostra intuizione pensando in due dimensioni invece che in tre. Oltre alla solita pialla euclidea, possiamo creare altre forme piatte ritagliando un pezzo della pialla e incollandone i bordi. Diciamo di ritagliare un pezzo di carta rettangolare e fissarne i bordi opposti con del nastro adesivo. Se incolli il bordo superiore al bordo inferiore, ottieni un cilindro.

Puoi anche incollare il bordo destro a sinistra, quindi otteniamo una ciambella (i matematici chiamano questa forma un toro).

Probabilmente obietterai: "Qualcosa non è molto piatto". E avrai ragione. Stavamo barando un po' sul toro piatto. Se provi davvero a creare un toro con un pezzo di carta in questo modo, incontrerai alcune difficoltà. È facile realizzare un cilindro, ma non funzionerà per incollarne le estremità: la carta si accartoccerà lungo il cerchio interno del toro, ma non sarà sufficiente per il cerchio esterno. Quindi devi prendere una sorta di materiale elastico. Ma lo stiramento cambia la lunghezza e gli angoli, e quindi l'intera geometria.

È impossibile costruire un vero toro fisico liscio da un materiale piatto all'interno di uno spazio tridimensionale ordinario senza distorcere la geometria. Resta da speculare astrattamente su cosa significhi vivere all'interno di un toro piatto.

Immagina di essere un essere bidimensionale il cui universo è un toro piatto. Poiché la forma di questo universo si basa su un foglio di carta piatto, tutti i fatti geometrici a cui siamo abituati rimangono gli stessi - almeno su scala limitata: gli angoli di un triangolo si sommano a 180 gradi, e così via. Ma con il cambiamento della topologia globale attraverso il taglio e l'incollaggio, la vita cambierà drasticamente.

Per cominciare, il toro ha linee rette che si snodano e ritornano al punto di partenza.

Su un toro distorto, sembrano curve, ma agli abitanti di un toro piatto sembrano dritte. E poiché la luce viaggia in linea retta, se guardi direttamente in qualsiasi direzione, ti vedrai da dietro.

È come se, sul pezzo di carta originale, la luce ti attraversasse, andasse al bordo sinistro e poi riapparisse a destra, come in un videogioco.

Ecco un altro modo di pensarci: tu (o un raggio di luce) attraversi uno dei quattro bordi e ti ritrovi in una nuova stanza, ma in realtà è la stessa stanza, solo da un punto di vista diverso. Vagando per un simile universo, ti imbatterai in un numero infinito di copie della stanza originale.

Ciò significa che prenderai un numero infinito di copie di te stesso ovunque guardi. Questa è una specie di effetto specchio, solo che queste copie non sono esattamente dei riflessi.

Sul toro, ciascuno di essi corrisponde all'uno o all'altro anello, lungo il quale la luce ritorna a te.

Allo stesso modo, otteniamo un toro tridimensionale piatto incollando le facce opposte di un cubo o di un'altra scatola. Non saremo in grado di rappresentare questo spazio all'interno di uno spazio infinito ordinario - semplicemente non si adatterà - ma saremo in grado di speculare astrattamente sulla vita al suo interno.

Se la vita in un toro bidimensionale è come un'infinita serie bidimensionale di stanze rettangolari identiche, allora la vita in un toro tridimensionale è come un'infinita serie tridimensionale di stanze cubiche identiche. Anche tu vedrai un numero infinito di copie della tua.

Il toro tridimensionale è solo una delle dieci varianti del mondo piatto finito. Esistono anche mondi piatti infiniti, ad esempio un analogo tridimensionale di un cilindro infinito. Ognuno di questi mondi avrà la sua "stanza delle risate" con "riflessioni".

Il nostro universo potrebbe essere una delle forme piatte?

Quando guardiamo nello spazio, non vediamo un numero infinito delle nostre copie. Indipendentemente da ciò, eliminare le forme piatte non è facile. Innanzitutto, hanno tutti la stessa geometria locale dello spazio euclideo, quindi non sarà possibile distinguerli con misurazioni locali.

Supponiamo che tu abbia persino visto la tua copia, questa immagine lontana mostra solo come apparivi tu (o la tua galassia nel suo insieme) nel lontano passato, poiché la luce ha fatto molta strada fino a quando non ti ha raggiunto. Forse vediamo anche le nostre copie, ma cambiate in modo irriconoscibile. Inoltre, copie diverse si trovano a distanze diverse da te, quindi non sono uguali. E poi, così lontano che ancora non vedremo niente.

Per aggirare queste difficoltà, gli astronomi di solito non cercano copie di se stessi, ma ripetizioni di caratteristiche nel fenomeno visibile più distante: la radiazione cosmica di fondo a microonde, questa è una reliquia del Big Bang. In pratica, ciò significa cercare coppie di cerchi con schemi corrispondenti di punti caldi e freddi: si presume che siano gli stessi, solo da lati diversi.

Gli astronomi hanno condotto proprio una ricerca del genere nel 2015 grazie al telescopio spaziale Planck. Hanno messo insieme dati sui tipi di cerchi coincidenti che ci aspettiamo di vedere all'interno di un toro 3D piatto o di un'altra forma 3D piatta - una cosiddetta piastra - ma non hanno trovato nulla. Ciò significa che se viviamo in un toroide, allora sembra essere così grande che eventuali frammenti ripetuti si trovano al di fuori dell'universo osservabile.

Forma sferica

Conosciamo molto bene le sfere bidimensionali: questa è la superficie di una palla, un'arancia o la Terra. Ma cosa succede se il nostro universo è una sfera tridimensionale?

Disegnare una sfera tridimensionale è difficile, ma è facile descriverla con una semplice analogia. Se una sfera bidimensionale è un insieme di tutti i punti a una distanza fissa da un punto centrale nello spazio tridimensionale ordinario, una sfera tridimensionale (o "trisfera") è un insieme di tutti i punti a una distanza fissa da alcuni punto centrale nello spazio quadridimensionale.

La vita all'interno di una trisfera è molto diversa dalla vita nello spazio piatto. Per visualizzarlo, immagina di essere un essere bidimensionale in una sfera bidimensionale. La sfera bidimensionale è l'intero Universo, quindi non puoi vedere lo spazio tridimensionale che ti circonda e non puoi entrarci. In questo universo sferico, la luce viaggia per il percorso più breve: in grandi cerchi. Ma questi cerchi ti sembrano dritti.

Ora immagina che tu e il tuo amico 2D siate in giro al Polo Nord e che sia andato a fare una passeggiata. Allontanandosi, all'inizio diminuirà gradualmente nel tuo cerchio visivo, come nel mondo ordinario, anche se non così rapidamente come siamo abituati. Questo perché man mano che la tua cerchia visiva cresce, il tuo amico ne assorbe sempre meno.

Ma non appena il tuo amico attraversa l'equatore, accade qualcosa di strano: inizia ad aumentare di dimensioni, anche se in realtà continua ad allontanarsi. Questo perché la percentuale che occupano nella tua cerchia visiva è in aumento.

A tre metri dal Polo Sud, il tuo amico sembrerà a tre metri da te.

Avendo raggiunto il Polo Sud, riempirà completamente il tuo intero orizzonte visibile.

E quando non c'è nessuno al Polo Sud, il tuo orizzonte visivo sarà ancora più strano: sei tu. Questo perché la luce che emetti si diffonderà in tutta la sfera fino a quando non tornerà.

Questo influenza direttamente la vita nel regno 3D. Ogni punto della trisfera ha un opposto, e se c'è un oggetto lì, lo vedremo in tutto il cielo. Se non c'è niente lì, ci vedremo sullo sfondo, come se il nostro aspetto fosse sovrapposto a un palloncino, quindi capovolto e gonfiato fino all'intero orizzonte.

Ma anche se la trisfera è il modello fondamentale per la geometria sferica, è tutt'altro che l'unico spazio possibile. Come abbiamo costruito diversi modelli piatti tagliando e incollando pezzi di spazio euclideo, così possiamo costruirne di sferici incollando opportuni pezzi di trisfera. Ognuna di queste forme incollate avrà, come il toro, l'effetto di una "stanza della risata", solo il numero di stanze in forme sferiche sarà finito.

E se il nostro universo fosse sferico?

Anche il più narcisista di noi non vede noi stessi come lo sfondo invece del cielo notturno. Ma, come nel caso di un toro piatto, il fatto che non vediamo qualcosa non significa affatto che non esista. I confini di un universo sferico possono essere più grandi dei limiti del mondo visibile e lo sfondo semplicemente non è visibile.

Ma a differenza di un toro, un universo sferico può essere rilevato utilizzando misurazioni locali. Le forme sferiche differiscono dallo spazio euclideo infinito non solo nella topologia globale, ma anche nella piccola geometria. Ad esempio, poiché le linee rette nella geometria sferica sono grandi cerchi, i triangoli sono "paffuti" di quelli euclidei e la somma dei loro angoli supera i 180 gradi.

Fondamentalmente, misurare i triangoli cosmici è il modo principale per verificare quanto è curvo l'universo. Per ogni punto caldo o freddo sullo sfondo cosmico a microonde, sono noti il suo diametro e la distanza dalla Terra, formando i tre lati del triangolo. Possiamo misurare l'angolo formato dal punto nel cielo notturno - e questo sarà uno degli angoli del triangolo. Possiamo quindi verificare se la combinazione delle lunghezze dei lati e la somma degli angoli corrisponde alla geometria planare, sferica o iperbolica (dove la somma degli angoli del triangolo è inferiore a 180 gradi).

La maggior parte di questi calcoli, insieme ad altre misurazioni della curvatura, presuppongono che l'universo sia completamente piatto o molto vicino ad esso. Un team di ricerca ha recentemente suggerito che alcuni dei dati del 2018 del Planck Space Telescope parlano più a favore di un universo sferico, sebbene altri ricercatori abbiano sostenuto che le prove presentate potrebbero essere attribuite a errori statistici.

Geometria iperbolica

A differenza di una sfera, che si chiude su se stessa, la geometria iperbolica o lo spazio con curvatura negativa si apre verso l'esterno. Questa è la geometria del cappello a tesa larga, della barriera corallina e della sella. Il modello base della geometria iperbolica è lo spazio infinito, proprio come l'Euclideo piatto. Ma poiché una forma iperbolica si espande verso l'esterno molto più velocemente di una piatta, non c'è modo di adattare anche un piano iperbolico bidimensionale all'interno dello spazio euclideo ordinario, se non vogliamo distorcere la sua geometria. Ma c'è un'immagine distorta del piano iperbolico noto come disco di Poincaré.

Dal nostro punto di vista, i triangoli vicino al cerchio di confine sembrano essere molto più piccoli di quelli vicino al centro, ma dal punto di vista della geometria iperbolica, tutti i triangoli sono uguali. Se provassimo a ritrarre questi triangoli veramente della stessa dimensione - magari utilizzando materiale elastico e gonfiando a turno ogni triangolo, muovendoci dal centro verso l'esterno - il nostro disco assomiglierebbe ad un cappello a tesa larga e si piegherebbe sempre di più. E man mano che ti avvicini al confine, questa curvatura andrebbe fuori controllo.

Nella geometria euclidea ordinaria, la circonferenza di un cerchio è direttamente proporzionale al suo raggio, ma nella geometria iperbolica il cerchio cresce esponenzialmente rispetto al raggio. Si forma una pila di triangoli vicino al confine del disco iperbolico

A causa di questa caratteristica, ai matematici piace dire che è facile perdersi nello spazio iperbolico. Se il tuo amico si allontana da te nel normale spazio euclideo, inizierà ad allontanarsi, ma piuttosto lentamente, perché il tuo cerchio visivo non cresce così rapidamente. Nello spazio iperbolico, il tuo cerchio visivo si espande in modo esponenziale, quindi il tuo amico si ridurrà presto a un granello infinitamente piccolo. Quindi, se non hai seguito il suo percorso, è improbabile che lo trovi in seguito.

Anche nella geometria iperbolica, la somma degli angoli di un triangolo è inferiore a 180 gradi - ad esempio, la somma degli angoli di alcuni triangoli del mosaico del disco di Poincaré è di soli 165 gradi.

I loro lati sembrano essere indiretti, ma è perché stiamo osservando la geometria iperbolica attraverso una lente deformante. Per un abitante del disco di Poincaré, queste curve sono in realtà linee rette, quindi il modo più veloce per andare dal punto A al punto B (entrambi sul bordo) è attraverso un taglio al centro.

Esiste un modo naturale per creare un analogo tridimensionale del disco di Poincaré: prendere una palla tridimensionale e riempirla con forme tridimensionali, che diminuiscono gradualmente man mano che si avvicinano alla sfera di confine, come i triangoli su un disco di Poincaré. E, come con i piani e le sfere, possiamo creare tutta una serie di altri spazi iperbolici tridimensionali ritagliando pezzi adatti di una palla iperbolica tridimensionale e incollandone le facce.

Ebbene, il nostro Universo è iperbolico?

La geometria iperbolica, con i suoi triangoli stretti e i suoi cerchi in crescita esponenziale, non è affatto come lo spazio che ci circonda. Infatti, come abbiamo già notato, la maggior parte delle misurazioni cosmologiche tende verso un universo piatto.

Ma non possiamo escludere che viviamo in un mondo sferico o iperbolico, perché piccoli frammenti di entrambi i mondi sembrano quasi piatti. Ad esempio, la somma degli angoli di piccoli triangoli nella geometria sferica è solo leggermente superiore a 180 gradi e nella geometria iperbolica è solo leggermente inferiore.

Ecco perché gli antichi pensavano che la Terra fosse piatta: la curvatura della Terra non è visibile ad occhio nudo. Più grande è la forma sferica o iperbolica, più piatta è ciascuna delle sue parti, quindi, se il nostro Universo ha una forma sferica o iperbolica estremamente grande, la sua parte visibile è così vicina al piatto che la sua curvatura può essere rilevata solo con strumenti ultra precisi, e non li abbiamo ancora inventati. …