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Cosa sono i frattali: la bellezza della matematica e dell'infinito
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Anonim

I frattali sono noti da un secolo, sono stati ben studiati e hanno numerose applicazioni nella vita. Tuttavia, questo fenomeno si basa su un'idea molto semplice: una moltitudine di forme, infinita in bellezza e varietà, può essere ottenuta da strutture relativamente semplici utilizzando solo due operazioni: copia e ridimensionamento.

Cosa hanno in comune un albero, una spiaggia, una nuvola o dei vasi sanguigni nella nostra mano? A prima vista, può sembrare che tutti questi oggetti non abbiano nulla in comune. Tuttavia, in effetti, c'è una proprietà di struttura inerente a tutti gli oggetti elencati: sono auto-simili. Dal ramo, così come dal tronco dell'albero, ci sono rami più piccoli, da loro - anche quelli più piccoli, ecc., cioè il ramo è come l'intero albero.

Il sistema circolatorio è organizzato in modo simile: le arteriole partono dalle arterie e da esse - i più piccoli capillari attraverso i quali l'ossigeno entra negli organi e nei tessuti. Diamo un'occhiata alle immagini satellitari della costa del mare: vedremo baie e penisole; diamo un'occhiata, ma a volo d'uccello: vedremo baie e promontori; Ora immaginiamo di essere in piedi sulla spiaggia e di guardarci i piedi: ci sono sempre dei sassolini che sporgono nell'acqua più in là degli altri.

Cioè, la costa rimane simile a se stessa quando viene ingrandita. Il matematico americano (benché cresciuto in Francia) Benoit Mandelbrot chiamò questa proprietà degli oggetti frattalità e tali oggetti stessi - frattali (dal latino fractus - rotti).

frattali
frattali

Che cos'è un frattale?

Questo concetto non ha una definizione rigorosa. Pertanto, la parola "frattale" non è un termine matematico. Tipicamente, un frattale è una figura geometrica che soddisfa una o più delle seguenti proprietà: • Ha una struttura complessa a qualsiasi ingrandimento (al contrario, per esempio, di una linea retta, la cui parte è la figura geometrica più semplice - un segmento). • È (approssimativamente) autosimile. • Ha una dimensione di Hausdorff (frattale) frazionaria, maggiore di quella topologica. • Può essere costruito con procedure ricorsive.

Geometria e Algebra

Lo studio dei frattali a cavallo tra il XIX e il XX secolo era piuttosto episodico che sistematico, perché i matematici precedenti studiavano principalmente oggetti "buoni" che erano suscettibili di ricerca utilizzando metodi e teorie generali. Nel 1872, il matematico tedesco Karl Weierstrass costruisce un esempio di funzione continua che non è differenziabile da nessuna parte. Tuttavia, la sua costruzione era del tutto astratta e difficile da percepire.

Pertanto, nel 1904, lo svedese Helge von Koch inventò una curva continua, che non ha tangenti da nessuna parte, ed è abbastanza semplice da disegnare. Si è scoperto che ha le proprietà di un frattale. Una delle varianti di questa curva è chiamata "fiocco di neve di Koch".

Le idee sull'autosomiglianza delle figure furono raccolte dal francese Paul Pierre Levy, il futuro mentore di Benoit Mandelbrot. Nel 1938 pubblicò il suo articolo "Curve e superfici piane e spaziali, costituite da parti simili al tutto", che descrive un altro frattale: la curva C di Lévy. Tutti questi frattali di cui sopra possono essere attribuiti condizionatamente a una classe di frattali costruttivi (geometrici).

Vegetazione
Vegetazione

Un'altra classe sono i frattali dinamici (algebrici), che includono l'insieme di Mandelbrot. I primi studi in questa direzione sono iniziati all'inizio del XX secolo e sono associati ai nomi dei matematici francesi Gaston Julia e Pierre Fatou. Nel 1918 fu pubblicata la memoria di quasi duecento pagine di Julia, dedicata alle iterazioni di complesse funzioni razionali, in cui venivano descritti gli insiemi di Julia - un'intera famiglia di frattali strettamente correlati all'insieme di Mandelbrot. Quest'opera è stata insignita del premio dell'Accademia di Francia, ma non conteneva una sola illustrazione, quindi era impossibile apprezzare la bellezza degli oggetti scoperti.

Nonostante il fatto che questo lavoro glorificasse Julia tra i matematici dell'epoca, fu presto dimenticato. Solo mezzo secolo dopo i computer tornarono all'attenzione: furono loro a rendere visibile la ricchezza e la bellezza del mondo dei frattali.

Dimensioni frattali

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Come sai, la dimensione (numero di misure) di una figura geometrica è il numero di coordinate necessarie per determinare la posizione di un punto che giace su questa figura.

Ad esempio, la posizione di un punto su una curva è determinata da una coordinata, su una superficie (non necessariamente un piano) da due coordinate, nello spazio tridimensionale da tre coordinate.

Da un punto di vista matematico più generale, puoi definire la dimensione in questo modo: un aumento delle dimensioni lineari, diciamo, due volte, per oggetti (segmento) unidimensionali (da un punto di vista topologico) porta ad un aumento delle dimensioni (lunghezza) due volte, per bidimensionale (quadrato) lo stesso aumento delle dimensioni lineari porta ad un aumento delle dimensioni (area) di 4 volte, per tridimensionale (cubo) - di 8 volte. Cioè, la dimensione "reale" (la cosiddetta Hausdorff) può essere calcolata come il rapporto tra il logaritmo di un aumento della "dimensione" di un oggetto e il logaritmo di un aumento della sua dimensione lineare. Cioè, per il segmento D = log (2) / log (2) = 1, per il piano D = log (4) / log (2) = 2, per il volume D = log (8) / log (2) = 3.

Calcoliamo ora la dimensione della curva di Koch, per la cui costruzione il segmento unitario viene diviso in tre parti uguali e l'intervallo medio viene sostituito da un triangolo equilatero privo di questo segmento. Con un aumento delle dimensioni lineari del segmento minimo tre volte, la lunghezza della curva di Koch aumenta in log (4) / log (3) ~ 1, 26. Cioè, la dimensione della curva di Koch è frazionaria!

Scienza e arte

Nel 1982 è stato pubblicato il libro di Mandelbrot "The Fractal Geometry of Nature", in cui l'autore ha raccolto e sistematizzato quasi tutte le informazioni disponibili in quel momento sui frattali e le ha presentate in modo facile e accessibile. Nella sua presentazione, Mandelbrot ha posto l'accento principale non su formule ingombranti e costruzioni matematiche, ma sull'intuizione geometrica dei lettori. Grazie alle illustrazioni generate al computer e ai racconti storici, con cui l'autore ha abilmente diluito la componente scientifica della monografia, il libro è diventato un bestseller e i frattali sono diventati noti al grande pubblico.

Il loro successo tra i non matematici è in gran parte dovuto al fatto che con l'aiuto di costruzioni e formule molto semplici che uno studente delle superiori può comprendere, si ottengono immagini di straordinaria complessità e bellezza. Quando i personal computer sono diventati abbastanza potenti, è apparsa anche un'intera tendenza nell'arte: la pittura frattale, e quasi tutti i proprietari di computer potrebbero farlo. Ora su Internet puoi trovare facilmente molti siti dedicati a questo argomento.

Curva di Koch
Curva di Koch

Guerra e Pace

Come notato sopra, uno degli oggetti naturali con proprietà frattali è la costa. A lui è collegata una storia interessante, o meglio, con un tentativo di misurarne la lunghezza, che ha costituito la base dell'articolo scientifico di Mandelbrot, ed è anche descritta nel suo libro "The Fractal Geometry of Nature".

Questo è un esperimento condotto da Lewis Richardson, un matematico, fisico e meteorologo molto talentuoso ed eccentrico. Una delle direzioni della sua ricerca è stato il tentativo di trovare una descrizione matematica delle cause e della probabilità di un conflitto armato tra i due paesi. Tra i parametri che ha preso in considerazione c'era la lunghezza del confine comune dei due paesi belligeranti. Quando ha raccolto dati per esperimenti numerici, ha scoperto che in diverse fonti i dati sul confine comune tra Spagna e Portogallo sono molto diversi.

Questo lo ha spinto a scoprire quanto segue: la lunghezza dei confini di un paese dipende dal righello con cui li misuriamo. Più piccola è la scala, più lungo è il bordo. Ciò è dovuto al fatto che con un ingrandimento maggiore diventa possibile tenere conto di un numero sempre maggiore di curve costiere, prima ignorate a causa della scabrezza delle misurazioni. E se, con ogni aumento di scala, si apriranno le curve delle linee precedentemente non contabilizzate, allora si scopre che la lunghezza dei confini è infinita! È vero, in realtà ciò non accade: l'accuratezza delle nostre misurazioni ha un limite finito. Questo paradosso è chiamato effetto Richardson.

frattali
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Frattali costruttivi (geometrici)

L'algoritmo per costruire un frattale costruttivo nel caso generale è il seguente. Prima di tutto, abbiamo bisogno di due forme geometriche adatte, chiamiamole una base e un frammento. Nella prima fase, viene raffigurata la base del futuro frattale. Quindi alcune delle sue parti vengono sostituite con un frammento preso su una scala adeguata: questa è la prima iterazione della costruzione. Quindi, la figura risultante cambia di nuovo alcune parti in figure simili a un frammento, e così via. Se continuiamo questo processo indefinitamente, al limite otteniamo un frattale.

Consideriamo questo processo usando la curva di Koch come esempio. Come base per la curva di Koch, puoi prendere qualsiasi curva (per il "fiocco di neve di Koch" è un triangolo). Ma ci limiteremo al caso più semplice: un segmento. Un frammento è una linea spezzata mostrata in alto nella figura. Dopo la prima iterazione dell'algoritmo, in questo caso, il segmento iniziale coinciderà con il frammento, quindi ciascuno dei suoi segmenti costituenti sarà sostituito da una linea spezzata, simile a un frammento, ecc. La figura mostra i primi quattro passaggi di questo processo.

frattali
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Nel linguaggio della matematica: frattali dinamici (algebrici)

Frattali di questo tipo nascono nello studio dei sistemi dinamici non lineari (da cui il nome). Il comportamento di un tale sistema può essere descritto da una funzione non lineare complessa (polinomio) f (z). Prendi un punto di partenza z0 sul piano complesso (vedi barra laterale). Consideriamo ora una tale sequenza infinita di numeri sul piano complesso, ciascuno dei quali è ottenuto dal precedente: z0, z1 = f (z0), z2 = f (z1),… zn + 1 = f (zn).

A seconda del punto iniziale z0, tale successione può comportarsi diversamente: tende all'infinito come n -> ∞; convergere verso un punto finale; assumere ciclicamente un numero di valori fissi; sono possibili anche opzioni più complesse.

Numeri complessi

Un numero complesso è un numero composto da due parti: reale e immaginario, ovvero la somma formale x + iy (qui xey sono numeri reali). io sono il cosiddetto. unità immaginaria, cioè un numero che soddisfa l'equazione i ^ 2 = -1. Le operazioni matematiche di base sono definite su numeri complessi: addizione, moltiplicazione, divisione, sottrazione (solo l'operazione di confronto non è definita). Per visualizzare i numeri complessi, viene spesso utilizzata una rappresentazione geometrica: sul piano (è chiamato complesso), la parte reale è posta sull'ascissa e la parte immaginaria sull'ordinata, mentre il numero complesso corrisponderà a un punto con cartesiano coordinate x e y.

Pertanto, qualsiasi punto z del piano complesso ha il proprio carattere di comportamento durante le iterazioni della funzione f (z) e l'intero piano è diviso in parti. In questo caso, i punti che si trovano sui confini di queste parti hanno la seguente proprietà: per uno spostamento arbitrariamente piccolo, la natura del loro comportamento cambia bruscamente (tali punti sono chiamati punti di biforcazione). Quindi, risulta che gli insiemi di punti con un tipo specifico di comportamento, così come gli insiemi di punti di biforcazione, hanno spesso proprietà frattali. Questi sono gli insiemi di Julia per la funzione f (z).

Famiglia di draghi

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Variando la base e il frammento, puoi ottenere una straordinaria varietà di frattali costruttivi.

Inoltre, operazioni simili possono essere eseguite nello spazio tridimensionale. Esempi di frattali volumetrici sono la spugna di Menger, la piramide di Sierpinski e altri.

La famiglia dei draghi è anche chiamata frattali costruttivi. A volte vengono chiamati con il nome degli scopritori "draghi dell'autostrada-Harter" (nella loro forma assomigliano ai draghi cinesi). Esistono diversi modi per tracciare questa curva. Il più semplice e intuitivo è questo: devi prendere una striscia di carta sufficientemente lunga (più sottile è la carta, meglio è) e piegarla a metà. Quindi piegalo di nuovo due volte nella stessa direzione della prima volta.

Dopo diverse ripetizioni (di solito dopo cinque o sei pieghe, la striscia diventa troppo spessa per essere piegata ulteriormente), è necessario raddrizzare la striscia all'indietro e cercare di formare angoli di 90˚ alle pieghe. Quindi la curva del drago risulterà di profilo. Naturalmente, questa sarà solo un'approssimazione, come tutti i nostri tentativi di rappresentare oggetti frattali. Il computer ti consente di rappresentare molti più passaggi in questo processo e il risultato è una figura molto bella.

L'insieme di Mandelbrot è costruito in un modo leggermente diverso. Considera la funzione fc (z) = z ^ 2 + c, dove c è un numero complesso. Costruiamo una successione di questa funzione con z0 = 0, a seconda del parametro c, può divergere all'infinito o rimanere limitata. Inoltre, tutti i valori di c per cui questa sequenza è limitata formano l'insieme di Mandelbrot. Fu studiato in dettaglio dallo stesso Mandelbrot e da altri matematici, che scoprirono molte proprietà interessanti di questo insieme.

Si vede che le definizioni degli insiemi di Julia e Mandelbrot sono simili tra loro. In realtà, questi due insiemi sono strettamente correlati. Ossia, l'insieme di Mandelbrot sono tutti i valori del parametro complesso c per cui è connesso l'insieme di Julia fc (z) (un insieme si dice connesso se non può essere scomposto in due parti disgiunte, con alcune condizioni aggiuntive).

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Frattali e vita

Oggi, la teoria dei frattali è ampiamente utilizzata in vari campi dell'attività umana. Oltre a un oggetto di ricerca puramente scientifico e alla già citata pittura frattale, i frattali sono usati nella teoria dell'informazione per comprimere dati grafici (qui si usa principalmente la proprietà di autosomiglianza dei frattali - dopotutto, per ricordare un piccolo frammento di un disegno e trasformazioni con cui è possibile ottenere il resto delle parti, è necessaria molta meno memoria rispetto alla memorizzazione dell'intero file).

Aggiungendo perturbazioni casuali alle formule che definiscono il frattale, si possono ottenere frattali stocastici che veicolano molto plausibilmente alcuni oggetti reali - elementi in rilievo, la superficie dei corpi idrici, alcune piante, che viene utilizzato con successo in fisica, geografia e computer grafica per ottenere maggiori somiglianza di oggetti simulati con oggetti reali. In elettronica, vengono prodotte antenne che hanno una forma frattale. Occupando poco spazio, forniscono una ricezione del segnale di qualità piuttosto elevata.

Gli economisti usano i frattali per descrivere le curve dei tassi di cambio (una proprietà scoperta da Mandelbrot). Questo conclude questa piccola escursione nel mondo incredibilmente bello e variegato dei frattali.

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